Цитата(DRONыч)
Не, я верю, что предел действительно есть и равен 3-ем, мне интересно доказательство.
Я бы сказал, что предел не равен 3. Он равен наименьшему корню уравнения
y√y =
3√3. Но наименьший корень - это не 3, а примерно 2.47805 (если верить вольфраму). 3 - наибольший корень, и он не подходит.
Обоснование.
То, что последовательность x
n = x
...x (высота n) монотонно неубывает при x >= 1, очевидно.
Ограниченность докажем в случае, когда существует такое y > 0, что x =
y√y.
Будем доказывать, что x
n <= y (для любого y, удовлетворяющего уравнению x =
y√y) по индукции.
База: y = x
y >= 1, тогда y >= 1, тогда y >= x = x
1.
Пусть верно x
n <= y. Тогда x
n+1 = x
xn <= x
y = y (используем монотонность функции f(z) = x
z при x >= 1 и предположение индукции). Шаг индукции обоснован.
Таким образом, последовательность монотонно неубывает и ограничена y, а значит имеет предел a <= y (также, в силу неубывания последовательности, a >= 1). Заметим, что этот предел не превосходит каждое y, удовлетворяющее уравнению x =
y√y.
Теперь докажем, что a = y для некоторого из удовлетворяющих уравнению y. Функция f(z) = x
z непрерывна. Значит, в силу определения предела функции по Гейне, для любой сходящейся к z последовательности z
n последовательность f(z
n) сходится к f(z). В частности, f(x
n) = x
n+1 сходится к f(a). Поскольку отбрасывание первого члена последовательности не влияет на её предел, получаем a = f(a), то есть a = x
a, то есть x =
a√a. Значит, a - решение уравнения x =
y√y. Поскольку a также меньше или равно любого из решений этого уравнения, получается, что оно равно наименьшему из решений.
Разберёмся, как себя ведут решения этого уравнения. Решения, меньшие 1, сразу не рассматриваем, так как при x >= 1, также y >= 1 (это уже было показано в рассуждениях выше), то есть меньших 1 решений не существует.
Производная функции
y√y равна
y√y*(1/y
2)*(1 - lny). Она на интервале (1, e) положительна, а на (e, +infinity) отрицательна, то есть сама функция непрерывна и монотонно возрастает от 1 до
e√e на интервале (1, e) и монотонно убывает от
e√e к 1 на (e, +infinity) (убывает именно к 1, так как предел y
1/y при y, стремящемся к бесконечности, равен 1, это известный факт, который я не буду сейчас доказывать). Значит, для x = 1 существует единственный корень y = 1, для x =
e√e существует единственный корень e. Для x: 1 < x < e существуют 2 решения: одно из интервала (1, e) (тем ближе к 1, чем меньше x) и одно из (e, +infinity) (тем больше, чем меньше x). Именно меньшее из решений и будет искомым пределом.
То есть для всех x от 1 до
e√e включительно предел указанной последовательности существует и находится в отрезке [1, e].
Через e
n обозначим последовательность при x =
e√e, она, монотонно неубывая, стремится к e.
Теперь пусть x >
e√e. Ясно, что x
n монотонно возрастает. Рассмотрим функцию f(z) = x
z. Производная этой функции равна f'(z) = lnx*x
z, причём lnx > 1/e, то есть lnx = (1+q)*1/e, где q > 0.
Тогда рассмотрим разность x
n+1 - x
n = f(x
n) - f(x
n-1) = f'(t)*(x
n - x
n-1). Последнее равенство верно в силу теоремы Лагранжа, здесь t - некоторое число из интервала (x
n-1, x
n). В силу монотонного возрастания f'(z), последнее выражение строго больше f'(x
n-1)*(x
n - x
n-1) = lnx*x
xn-1*(x
n - x
n-1) = x
n*(1+q)*1/e * (x
n - x
n-1).
Теперь заметим, что (т. к. x
1 > e
1), x
n > e
n. e
n неубывает и стремится к e, значит для любого q > 0 существует такое n, начиная с которого x
n > e*1/(1+q). Тогда, из расписанных выше неравенств, получаем, что x
n+1 - x
n > x
n - x
n-1. Таким образом, начиная с некоторого n, с каждым следующим членом скорость роста последовательности увеличивается. Это значит, что x
n стремится к бесконечности. Чтобы строго это показать, можно заметить, что x
n равен сумме по i от 1 до n слагаемых (x
i - x
i-1) (обозначим x
0 = 0). При n, стремящемся к бесконечности, получаем ряд, для которого не выполнено необходимое условие сходимости (стремление члена ряда к 0), значит он расходится, то есть x
n не имеет предела. Так как эта последовательность ещё и монотонна, она стремится к бесконечности.
Итак, при x >
e√e, последовательность стремится к бесконечности.
При x < 1 все члены последовательности меньше 1 и, во всяком случае, если предел существует, он меньше или равен 1 и не равен 3.
Таким образом, в исходной задаче ни единое x не удовлетворяет условию (так как 3 > e). Если бы вместо 3 стояло число из отрезка [1, e], то существовало бы единственное решение из отрезка [1,
e√e] (в случае единицы, может быть, были бы ещё решения из (0, 1) - этот вопрос тут не рассматриваю). Если вместо 3 поставить число, большее e, - то в задаче решений нет.
"Красивое" решение получилось бы, если вместо 3 поставить 2 - был бы ответ - корень из 2.
***
В целом, идея того, что если x возвести в степень x
x..., то получится то же самое x
x..., разумна (и в моих рассуждениях она тоже используется, обснованная непрерывностью функции x
z). Но это работает только если заведомо известно, что уравнение имеет решения. Данный пример показывает, что решений может и не быть, и, чтобы это выяснить, требуется более глубокий анализ. Но по большому счёту, даже если решение существует - его существование нужно доказывать.
.gif)
Поэтому, не 19999, а 20000. Так-то.